이산수학의 개요

이산수학에 대해서 이해하기 위해서는 유산수학과의 차이점에 대한 이해가 필연적이다.

 

유산수학이란 무엇일까? 유산수학은 연속형 값을 다루는 수학이라고 보면 된다.

 

예를 들어 1보다 작은 값은 0.9도 있고 0.99도 있고 0.999도 있다. 또한 1과 0.9사이에 셀 수 없는 수많은 숫자가 존재한다. 이러한 셀 수 없는 값들을 다루고 계산하는 것을 유산수학이라고 부른다.

 

이산수학은 유산수학과 반대로 셀 수 있는 값인 이산적인 값을 다루는 수학이라고 보면된다.

 

이산수학은 특히나 컴퓨터 관련 분야에서 많이 쓰이는데 그 이유에 대해 서술하겠다.

 

컴퓨터가 0과 1로 이루어져있다는 것은 누구나 아는 사실이다. 하지만, 왜 0과 1로 이루어져있는지에 대한 생각을 해본적이 있는가?

 

컴퓨터의 역사를 짧게 말하자면 컴퓨터의 시초는 진공관이었다. 진공관의 구조를 이해하는 것은 재밌는 일이지만, 간단하게 말하면 진공관은 전등이 켜져있으면 1, 꺼져있으면 0으로 인식하는 거대한 컴퓨터였다는 것이다. 그런데 여기서 의문점을 가질 수 있다. 아니 0과 1뿐만이 아니라 밝기에 따라 완전히 켜지면 1, 20%정도 켜지면 2, 50%정도 켜지면 5 이런식으로 사용하면 2를 저장하기 위해 0000 0010이라는 8개의 전구가 아니라 그냥 20%정도 켜진 전구 하나만 쓰면되기 때문에 더 효율적이지 않나? 라고 생각할 수 있다.

 

하지만, 이는 그에 따라 발생하는 오류들에 대해 고려하지않은 것이다.

 

첫번째 오류 : 전구가 몇% 켜져있는지 확인하는 시스템을 구축하는 것이 더 어렵다.

- 일단 전구가 몇% 켜져있는지 확인하는 소프트웨어를 구축해야하는데, 그러한 알고리즘을 구축하는 것이 어렵고 구축한다고 가정하더라도 연산에 있어 더 많은 시간과 용량을 필요로 하므로 더 많은 비용이 사용된다.

 

두번째 오류 : 무더기의 역설에 의한 오류

- 자연은 수많은 변수가 존재하고 그 수많은 변수때문에 완벽한 값을 도출하긴 어렵다. 때문에 우리는 전구의 정확한 30% 밝기라는 전류를 만들어 낼 수 없다.(완벽한 1cm 또한 만들 수 없다. 이는 다음에 한번 더 언급하겠다.) 때문에 29.9%일 수 도 있고 29%일 수 도 있고 심지어 26%일 수 도 있다. 그러면 반올림하면 되지않냐 라고 할 수 있지만, 24.99999999%일 경우 반올림했을 때 20%가 나와버린다. 심지어 우리는 25%와 24.99999999%는 물론이고 20%와 30%를 육안으로 구분할 수 없기에 문제가 생겨도 수정조차 불가능하다.

 

반론 : 그건 진공관 시대고 현대랑 맞는 얘기를 해라!

 

방식은 바꼈지만 진공관시대랑 별 다른게 없다. 여전히 트랜지스터는 0과 1만 출력하고 하드디스크는 여전히 액세스 암이라는 물리적 장치가 디스크를 돌려가며 데이터를 읽는다. 크기가 작아지고 방식이 바꼈을 뿐이지 유산수학으로 해결할 수 없는 본질적 이유에 대해서는 달라진게 딱히 없다.

 

그래서 컴퓨터는 소프트웨어적으로나 하드웨어적으로나 딱딱 떨어지는 이산수학 방식을 선택한 것이다.

 

컴퓨터에 대한 얘기가 길어졌지만, 컴퓨터는 본질적으로 이산수학을 많이 이용하기 때문에 이산수학에 대한 이해와 예시 그리고 더불어 컴퓨터에 대한 본질적 이해가 되기를 바라며 작성해보았다.